Задача 116432
|
|
 |
Условие
В клетках квадратной таблицы 10×10 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр произвольным образом составлено десятизначное число. Может ли оказаться так, что из двадцати получившихся чисел ровно одно не делится на 3?
Решение
Предположим, что найдётся ровно одно число, которое не делится на 3, и оно образовано цифрами какого-то из столбцов. Тогда сумма цифр этого числа также не делится на 3. Во всех остальных столбцах числа делятся на 3,и суммы их цифр делятся на 3. Следовательно, сумма всех чисел в таблице не делится на 3.
С другой стороны, число в каждой строке делится на 3, значит, сумма цифр числа в каждой строке делится на 3, то есть сумма всех чисел таблицы кратна 3. Противоречие.
