ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел a1, a2, a3, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено

   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      



Задача 109691  (#99.5.10.1)

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Автор: Бахарев Ф.

На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые номера до начала игры определяются жребием. При этом Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик – только во вторую или третью, а Пятачок – в первую или третью.
Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает.
Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109692  (#99.5.10.2)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Числа Фибоначчи ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел a1, a2, a3, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено

Прислать комментарий     Решение

Задача 108156  (#99.5.10.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Сонкин М.

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC . Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109694  (#99.5.10.4)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Процессы и операции ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11

В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n2 фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109695  (#99.5.10.5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .