Задача 108156

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Сонкин М.

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC . Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Решение

1. Докажем сначала, что центры O_B , O_C и O_A окружностей S_B , S_C и S_A , вписанных в треугольники BKL , CLM и AKM соответственно, совпадают с серединами соответствующих дуг окружности S , вписанной в треугольник ABC .
   
   Действительно, пусть O_A' – середина меньшей дуги KM окружности S (рис.1). Тогда из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
   AKO_A' = KMO_A'= MKO_A'.
   Аналогично, AMO_A' = KMO_A' , значит, O_A' – точка пересечения биссектрис треугольника AKM . Следовательно, точки O_A' и O_A совпадают.
   
   Аналогично докажем, что O_B – середина меньшей дуги KL , a OС – середина меньшей дуги LM окружности S .
   
   
2. Докажем, что центр I окружности S лежит на общей касательной окружностей S_A и S_C , не совпадающей с прямой AC (рис.2).
   
   Из точки I проведём касательную IP к окружности S_A так, чтобы она пересекала меньшую дугу O_AM . Аналогичным образом проведём касательную IQ к окружности S_C .
   
   Биссектриса LI угла KLM делит дугу KM пополам, поэтому точки L , I и O_A лежат на одной прямой. Аналогично докажем, что точки M , I и O_C лежат на одной прямой.
   
   Положим KLM = 2α , KML = 2γ . По теореме о внешнем угле треугольника
   O_AIM = ILM + IML = α + γ.
   С другой стороны,
   O_AMI = O_AMK + O_CMK = ILK + IMK = α + γ = O_AIM.
   Значит, треугольник O0MI – равнобедренный, O_AI=A0M . Пусть D – середина KM . Тогда окружность S_A касается KM в точке D .
   
   Прямоугольные треугольники O_API и O_ADM равны по катету ( O_AP=O_AD как радиусы окружности S_A ) и гипотенузе ( O_AI =O_AM по доказанному). Поэтому
   O_AIP = O_AMD = O_AMK.
   но O_AIP = O_AMK= α = O_ALM , Следовательно, IP || LM .
   
   Аналогично, IQ || LM . Следовательно, точки Q , I , P лежат на одной прямой, параллельной LM .

Аналогично докажем, что точка I лежит на остальных двух общих касательных, о которых говорится в условии задачи (рис.3).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6506
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1999
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	99.5.10.3