Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 67091 (#6 [8-9 кл])

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Ивлев Ф.

Вписанная и вневписанная окружности треугольника $ABC$ касаются отрезка $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P'$ и $Q'$ соответственно. Докажите, что $PP' > QQ'$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67092 (#7 [8-9 кл])

Тема:

[

Построение треугольников по различным точкам

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Филипповский Г.Б.

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ во внешнюю сторону был построен квадрат с центром $F$. Затем всё стерли, кроме точки $F$ и середин $N$, $K$ сторон $BC$, $AB$ соответственно. Восстановите треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 67093 (#8 [8-9 кл])

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вспомогательные проекции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Фролов И.И.

На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $AP=PR$, $CQ=QR$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PQR$, точка $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $OH \parallel AC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67094 (#9 [8-9 кл])

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырехугольника $ABCD$ касаются окружности с центром $I$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. На прямой $AI$ выбрана произвольная точка $P$. Прямая $PK$ пересекает прямую $BI$ в точке $Q$. Прямая $QL$ пересекает прямую $CI$ в точке $R$. Прямая $RM$ пересекает прямую $DI$ в точке $S$. Докажите, что точки $P$, $N$ и $S$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 67095 (#10 [8-9 кл])

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фадин М.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_1$ с центром $O$. Окружность $\omega_2$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]