а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных внутренним образом.
в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников, полученных в задачах а) и б), равна площади исходного треугольника.

   Решение

Тема:    [ Построение треугольников по различным точкам ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ во внешнюю сторону был построен квадрат с центром $F$. Затем всё стерли, кроме точки $F$ и середин $N$, $K$ сторон $BC$, $AB$ соответственно. Восстановите треугольник.

Решение

Пусть $M$ – середина $AC$. Тогда $FM=AC/2=KN$ и $FM\perp KN$. Это позволяет построить точку $M$, а затем восстановить треугольник $ABC$ по серединам его сторон.

Источники и прецеденты использования