Версия для печати
Убрать все задачи

---

В некотором государстве города соединены дорогами. Длина каждой дороги меньше 500 км, и из каждого города в любой другой можно попасть, проехав по дорогам меньше 500 км. Когда одна дорога оказалась закрытой на ремонт, выяснилось, что из каждого города можно проехать по оставшимся дорогам в любой другой. Доказать, что при этом можно проехать меньше 1500 км.

   Решение

---

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98105  (#1)

Темы:   [ Отношение порядка ] [ Деревья ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?
(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108055  (#2)

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Угол при вершине A равнобедренного треугольника ABC  (AB = AC)  равен 20°. На стороне AB отложим отрезок AD, равный BC. Найдите угол BCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98107  (#3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 100?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35392  (#4)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Последовательность {a_n} определяется правилами:  a₀ = 9,    .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98109  (#5)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Раскраски ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Квадрат 9×9 разбит на 81 единичную клетку. Некоторые клетки закрашены, причём расстояние между центрами каждых двух закрашенных клеток больше 2.
  а) Приведите пример раскраски, при которой закрашенных клеток 17.
  б) Докажите, что больше 17 закрашенных клеток быть не может.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями