ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35392
Темы:    [ Рекуррентные соотношения ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Вялый М.Н.

Последовательность {an} определяется правилами:  a0 = 9,    .
Докажите, что в десятичной записи числа a10 содержится не менее 1000 девяток.


Подсказка

Рассмотрите последовательность  bn = an + 1  и покажите, что bn делится на большую степень десятки.


Решение

Рассмотрим последовательность {bn}, определённую формулой  bn = an + 1.  Условие     перепишем в виде
  Из полученной формулы видно, что если десятичная запись числа bk оканчивается на K нулей, то запись числа bk+1 оканчивается на 2K нулей. Так как  b0 = 10,  то есть оканчивается на один ноль, то bk оканчивается на 2k нулей. В частности, b10 оканчивается на 1024 нуля, следовательно,  a10 = b10 – 1  оканчивается на 1024 девятки.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 8, 10-11 кл. – 6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1991/1992
Номер 13
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1991/1992
Номер 13
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4
журнал
Название "Квант"
год
Год 1992
выпуск
Номер 2
Задача
Номер М1326

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .