Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]

Задача 67251 (#10.6)

Темы:	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

Пусть $E$ – проекция вершины $C$ прямоугольника $ABCD$ на диагональ $BD$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $AEB$ и $AED$ пересекаются на окружности $AEC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67252 (#10.7)

Темы:	[	Степень вершины	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Наглядная геометрия в пространстве	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Авторы: Богданов И.И., Скопенков А.Б.

В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно $2023$?

Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке. Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.

Прислать комментарий Решение

Задача 67253 (#10.8)

Темы:	[	Радикальная ось	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан треугольник $ABC$ и окружности $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ с центрами $X$, $Y$, $Z$, $T$ соответственно такие, что каждая из прямых $BC$, $CA$, $AB$ высекает на них четыре равных отрезка. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ делит отрезок с концами в $X$ и радикальном центре $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ в отношении $2:1$, считая от $X$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]