Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115352

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Назовём тройку натуральных чисел  (a, b, c)  квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка  (c, b, a)  новой тройкой не считается.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116570

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Даны положительные числа b и c. Докажите неравенство  (b – c)²⁰¹¹(b + c)²⁰¹¹(c – b)²⁰¹¹ ≥ (b²⁰¹¹ – c²⁰¹¹)(b²⁰¹¹ + c²⁰¹¹)(c²⁰¹¹ – b²⁰¹¹).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98129

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Иррациональные неравенства ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть m, n и k – натуральные числа, причём  m > n.  Какое из двух чисел больше:

    или  

(В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54651

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дана полуокружность с диаметром AB. С помощью циркуля и линейки постройте хорду MN, параллельную AB, так, чтобы трапеция AMNB была описанной.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64353

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Малая теорема Ферма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями