ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64353
Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).


Решение

  Пусть  n ≥ 2,  и  2 = p1 < ... < pk – первые k простых чисел. Предположим, что  p1p2...pk = an + 1.     (*)
  Если  a = 1,  то  an + 1 = 2  и, следовательно,  k = 1.
  Предположим теперь, что  a > 1;  тогда  k > 1.  Число a нечётно, поэтому у него существует нечётный простой делитель q. Тогда  q > pk,  иначе левая часть равенства (*) делилась бы на q, что не так. Поэтому и  a > pk.
  Без ограничения общности можно считать, что n – простое число (если  n = st,  то можно заменить n на t, а a – на as). Заметим, что  n > 2,  поскольку
 a² + 1  не может делиться на  3 = p2.
  Покажем, что  n > pk.  Действительно, в противном случае  n = pi,  где  i ≤ k.  Тогда  api + 1  кратно pi; с другой стороны, по малой теореме Ферма  api – a  кратно pi. Так как  api + 1 = (a + 1)(api–1api–2 + ... – a + 1),  причём  a + 1 = (api + 1) – (api – a)  кратно pi и  api–1api–2 + ... – a + 1 ≡ 1 + 1 + ... + 1 = pi ≡ 0 (mod pi),  то   api + 1  делится на     что противоречит условию.

  Итак,  a > pk  и  n > pk,  откуда  an + 1 > > p1p2...pk,  что противоречит равенству (*).


Ответ

k = 1.

Замечания

Ср. с задачей 64361.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .