Версия для печати
Убрать все задачи

---

В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что
  а) волшебник может это сделать;
  б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;
  в) существует единственный путь, обходящий все города;
  г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110169

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Может ли в наборе из шести чисел  (a, b, c, ^a²/_b, ^b²/_c, ^c²/_a},  где a, b, c – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110182

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Арифметическая прогрессия a₁, a₂, ..., состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом n произведение a_na_n+31 делится на 2005.
Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110201

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Произведение квадратных трёхчленов  x² + a₁x + b₁,  x² + a₂x + b₂,  ...,  x² + a_nx + b_n  равно многочлену  P(x) = x²ⁿ + c₁x^2n–1 + c₂x^2n–2 + ... + c_2n–1x + c_2n,  где коэффициенты  c₁, c₂, ..., c_2n  положительны. Докажите, что для некоторого k  (1 ≤ k ≤ n)  коэффициенты a_k и b_k положительны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111766

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

При каких натуральных n найдутся такие целые a, b, c, что их сумма равна нулю, а число  aⁿ + bⁿ + cⁿ  – простое?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111788

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Существуют ли такие простые числа p₁, p₂, ..., p₂₀₀₇, что    делится на p₂,    делится на p₃, ...,    делится на p₁?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями