Страница:
<< 12 13 14 15 16
17 18 >> [Всего задач: 87]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На сторонах
AB и
BC параллелограмма
ABCD выбраны точки
A1 и
C1 соответственно. Отрезки
AC1 и
CA1 пересекаются в точке
P .
Описанные окружности треугольников
AA1P и
CC1P вторично пересекаются в точке
Q , лежащей внутри треугольника
ACD .
Докажите, что
PDA= QBA .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10
|
Пусть A', B' и C' – точки касания вневписанных
окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что треугольник A1B1C1
подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сторонами.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.
Страница:
<< 12 13 14 15 16
17 18 >> [Всего задач: 87]
Все авторы
>>
Емельянов Л.А. 
