Задача 108226

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки подобия ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть A', B' и C' – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сторонами.

Решение

  Пусть I_A, I_B и I_C – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Точки I_A, I_С и B лежат на одной прямой – биссектрисе внешнего угла при вершине B треугольника ABC. Аналогично точки A и B лежат на отрезках I_CI_B и I_AI_B соответственно.

  Обозначим через O точку пересечения продолжений радиусов I_AA' и I_CC'. В прямоугольных треугольниках I_AA'B и I_CC'B равны острые углы при общей вершине B, значит, равны и другие острые углы, то есть  ∠BI_AA' = ∠BI_CC'.  Поскольку углы, прилежащие к стороне треугольника I_AOI_C , равны, то этот треугольник равнобедренный. Если OP – его высота, то P – середина I_AI_C.
  Заметим, что точки A', C' и P лежат на окружности с диаметром OB.
  AI_A ⊥ AI_C  (и  СI_A ⊥ СI_C)  как биссектрисы смежных углов. Значит, точки A и C лежат на окружности с диаметром I_AI_C, а P – центр этой окружности. Центральный угол CPI_A этой окружности вдвое больше вписанного угла CAI_A, равного половине угла A (так как AI_A – биссектриса этого угла). Значит,
∠CPI_A = ∠A.  Поскольку  ∠PBC = 180° – ∠CPI_A = 180° – A,  то четырёхугольник APBC – вписанный, следовательно, точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC и, в то же время, – на описанной окружности треугольника A'BC', то есть совпадает с точкой B₁.
  Аналогично точки A₁ и C₁ – середины сторон соответственно I_BI_C и I_AI_B треугольника I_AI_BI_C. Значит, стороны треугольника A₁B₁C₁ соответственно параллельны сторонам треугольника I_AI_BI_C.
  Пусть A'', B'' и C'' – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, AC и AB соответственно. Поскольку  B₁A'' = B₁C''  (как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то треугольник B₁A''C'' – равнобедренный. Биссектриса B₁I_A его внешнего угла при вершине параллельна основанию A''C''. Следовательно,  A''C'' || I_AI_C.  Аналогично   A''B'' || I_AI_B  и  B''C'' || I_BI_C.
  Ранее было доказано, что стороны треугольника A₁B₁C₁ соответственно параллельны сторонам треугольника I_AI_BI_C. Значит, стороны треугольника A₁B₁C₁ соответственно параллельны сторонам треугольника A''B''C''. Следовательно, треугольник I_AI_BI_C подобен треугольнику A''B''C''.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6573
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	05.5.11.3