Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 67]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что если натуральное число k делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них
найдутся два, угол между которыми меньше 45°.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и
коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 100×100, и в ней участвует 20 различных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, что любая фигура с любого места бьет не более 20 полей (но больше о правилах ничего не сказано, например, если фигуру А передвинуть, то о том, как изменится множество битых полей мы ничего не знаем). Докажите, что можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить 12345 + 6 + 789 = 13140). С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.
Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 67]
Все авторы
>>
Толпыго А.К. 
