Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 144]

Задача 110085

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число x^p + y^q рационально.
Докажите, что x и y – рациональные числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35644

Темы:	[	Счетные и несчетные подмножества	]
Темы:	[	Покрытия	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что рациональные числа из отрезка [0;1] можно покрыть системой интервалов суммарной длины не больше 1/1000.

Прислать комментарий Решение

Задача 60851

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Корни. Степень с рациональным показателем (прочее)	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите иррациональность следующих чисел:

а) $\sqrt[3]{17}$ ;	д) cos 10^o;
б) $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ ;	е) tg 10^o;
в) $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ + $\sqrt{5}$ ;	ж) sin 1^o;
г) $\sqrt[3]{3}$ - $\sqrt{2}$ ;	з) log₂3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64767

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Берлов С.Л.

В республике математиков выбрали число α > 2 и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α^k рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66474

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Григорьев М. А.

Докажите, что для любых натуральных a₁, a₂, ..., a_k таких, что , у уравнения не больше чем a₁a₂...a_k решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 144]