Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 151]

Задача 60851

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Корни. Степень с рациональным показателем (прочее)	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите иррациональность следующих чисел:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) cos 10° ;

е) tg 10° ;

ж) sin 1° ;

з) log_₂3 .

Прислать комментарий

Решение

Задача 64767

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Берлов С.Л.

В республике математиков выбрали число α > 2 и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α^k рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66474

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Григорьев М. А.

Докажите, что для любых натуральных a₁, a₂, ..., a_k таких, что , у уравнения не больше чем a₁a₂...a_k решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Прислать комментарий Решение

Задача 67053

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дидин М.

Докажите для любых натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ неравенство $\bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor + \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor + ... + \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor \geqslant a_1 + a_2 + ... +a_n$. ([$x$] – целая часть числа $x$.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 78051

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$ ${\frac{1}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$ , $\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$ ${\frac{2}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$ , ..., $\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$ ${\frac{M}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 151]