Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 286]

Задача 61455

Тема:

[

Функции нескольких переменных

]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10,11

Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.

Решение

Гармоничность данных функций проверяется по определению.

Прислать комментарий

Задача 35148

Тема:

[

Функции одной переменной. Непрерывность

]

Сложность: 2+
Классы: 10,11

Постройте функцию, определенную во всех точках вещественной прямой и непрерывную ровно в одной точке.

Подсказка

Можно отдельно определить функцию на множествах рациональных и иррациональных точек.

Решение

Определим функцию f(x) равенствами f(x)=0 при рациональном x и f(x)=x при иррациональном x. Для любого положительного d при |x|<d |f(x)-f(0)|=|f(x)|<d, поэтому функция f(x) непрерывна в точке x=0. С другой стороны пусть a не равно 0. В любой окрестности точки x=a найдутся две точки x=b и x=c, такие что b рационально, а c - иррационально, причем иррациональное число c можно выбрать так, что |c-a|<|a|/2. Тогда в любой окрестности числа a для этих b и c из рассматриваемой окрестности выполнено |f(b)-f(c)|>|0-a/2|=|a/2|, что противоречит непрерывности функции f(x) в точке a.

Прислать комментарий

Задача 61320

Темы:	[	Монотонность, ограниченность	]
Темы:	[	Итерации	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для монотонно возрастающей функции f (x) уравнения x = f (f (x)) и x = f (x) равносильны.

Прислать комментарий

Задача 102797

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Уравнение с целой и дробной частью. Решить уравнение [x³] + [x²] + [x] = {x} − 1, где [x] — целая часть числа x, {x} - дробная часть числа x.

Решение

Заметим, что число слева целое, а, следовательно, и справа стоит целое число, но тогда и дробная часть целое число, т.е. дробная часть равна нулю, а это возможно только, если искомое число целое. Заметим, что целая часть целого числа есть целое число, поэтому можно переписать уравнение x³ + x² + x = −1 или (x + 1)(x² + 1) = 0, которое имеет единственное решение x = −1.

Прислать комментарий

Задача 109438

Темы:	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11

Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y) . Найдите f(2007) , если f() = 1 .

Решение

При y = 1 данное равенство примет вид: f(x) = f(x) + f(1) , следовательно, f(1) = 0 . Пусть x = 2007 , y = , тогда f(1) = f(2007) + f() , то есть f(2007) = - f() = -1 . Отметим, что простейшей из функций, удовлетворяющих условию, является логарифмическая функция, которую можно задать формулой f(t)=log 1/2007t . Но эта функция – далеко не единственная из возможных, так как не задано условие непрерывности функции f (либо ее монотонности).

Ответ

-1 .

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 286]