ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



Задача 56949

Тема:   [ Подерный (педальный) треугольник ]
Сложность: 3
Классы: 9

Пусть A1, B1 и C1 - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB. Треугольник A1B1C1 называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC.
Пусть A1B1C1 — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что  B1C1 = BC . AP/2R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108130

Темы:   [ Подерный (педальный) треугольник ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Признаки подобия ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC отмечена точка O и из неё опущены перпендикуляры OA1, OB1, OC1 на стороны BC, AC, AB соответственно. Пусть A2, B2, C2 – вторые точки пересечения прямых AO, BO, CO с описанной окружностью треугольника ABC. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56950

Тема:   [ Подерный (педальный) треугольник ]
Сложность: 5
Классы: 9

Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A2, B2 и C2A1B1C1 — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99). Докажите, что  $ \triangle$A1B1C1 $ \sim$ $ \triangle$A2B2C2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56951

Тема:   [ Подерный (педальный) треугольник ]
Сложность: 5
Классы: 9

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P. Опустив из нее перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на стороны, получим  $ \triangle$A1B1C1. Проделав для него ту же операцию, получим  $ \triangle$A2B2C2, а затем  $ \triangle$A3B3C3. Докажите, что  $ \triangle$A3B3C3 $ \sim$ $ \triangle$ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56952

Тема:   [ Подерный (педальный) треугольник ]
Сложность: 6
Классы: 9

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R с центром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99) равна  $ {\frac{1}{4}}$$ \left\vert\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right.$1 - $ {\frac{d^2}{R^2}}$$ \left.\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right\vert$SABC, где d = PO.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .