ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108130
Темы:    [ Подерный (педальный) треугольник ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Признаки подобия ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC отмечена точка O и из неё опущены перпендикуляры OA1, OB1, OC1 на стороны BC, AC, AB соответственно. Пусть A2, B2, C2 – вторые точки пересечения прямых AO, BO, CO с описанной окружностью треугольника ABC. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Точки B1 и C1 лежат на окружности с диаметром OA, а точки A1 и C1   лежат на окружности с диаметром OB. Значит,  ∠CAA2 = ∠B1AO = ∠B1C1O.
  Аналогично  ∠CBB2 = ∠A1BO = ∠A1C1O.
  В описанной окружности треугольника ABC, вписанные углы  CAA2 и CBB2 опираются на дуги A2C и B2C, поэтому их сумма равна углу A2C2B2. Следовательно,  ∠A1C1B1 = ∠OC1B1 + ∠OC1A1 = ∠CAA2 + ∠CBB2 = ∠A2C2B2.
  Аналогично  ∠B1A1C1 = B2A2C2.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6480

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .