ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Математический анализ >> Числовые последовательности
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Вниз   Решение

При посадке в самолет выстроилась очередь из n пассажиров, у каждого из которых имеется билет на одно из n мест. Первой в очереди стоит сумасшедшая старушка. Она вбегает в салон и садится на случайное место (возможно, и на свое). Далее пассажиры по очереди занимают свои места, а в случае, если свое место уже занято, садятся случайным образом на одно из свободных мест. Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое место?

ВверхВниз   Решение

Пусть f(x) - некоторый многочлен, про который известно, что уравнение f(x)=x не имеет корней. Докажите, что тогда и уравнение f(f(x))=x не имеет корней.

ВверхВниз   Решение

Пусть a и b – два положительных числа, причём  a < b.  Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается  μ(a, b).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]      

  с решениями  

Задача 61305

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Итерации ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y=x. Затем на графике функции отмечаются точки A0(x0,f(x0)), A1(x1,f(x1)),..., An(xn,f(xn)),... а на биссектрисе координатного угла — точки B0(x0,x0), B1(x1,x1),..., Bn(xn,xn),... Ломаная B0A0B1A1... BnAn... называется итерационной.
Постройте итерационные ломаные для следующих данных:
а) f (x) = 1 + $ {\dfrac{x}{2}}$,    x0 = 0, x0 = 8;
б) f (x) = $ {\dfrac{1}{x}}$,    x0 = 2;
в) f (x) = 2x - 1,    x0 = 0, x0 = 1, 125;
г) f (x) = - $ {\dfrac{3x}{2}}$ + 6,     x0 = $ {\dfrac{5}{2}}$;
д) f (x) = x2 + 3x - 3,    x0 = 1, x0 = 0, 99, x0 = 1, 01;
е) f (x) = $ \sqrt{1+x}$,    x0 = 0, x0 = 8;
ж) f (x) = $ {\dfrac{x^3}{3}}$ - $ {\dfrac{5x^2}{2}}$ + $ {\dfrac{25x}{6}}$ + 3,     x0 = 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61306

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Последовательность чисел {an} задана условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61304

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Непрерывные функции (общие свойства) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Метод итераций. Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись f (x) = x, применяется метод итераций. Сначала выбирается некоторое число x0, а затем строится последовательность {xn} по правилу xn + 1 = f (xn) (n $ \geqslant$ 0). Докажите, что если эта последовательность имеет предел x* = $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$xn, и функция f (x) непрерывна, то этот предел является корнем исходного уравнения: f (x*) = x*.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61308

Тема:   [ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Числа a1, a2, ..., ak таковы, что равенство

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$(xn + a1xn - 1 +...+ akxn - k) = 0

возможно только для тех последовательностей {xn}, для которых $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$xn = 0. Докажите, что все корни многочлена

P($\displaystyle \lambda$) = $\displaystyle \lambda^{k}_{}$ + a1$\displaystyle \lambda^{k-1}_{}$ + a2$\displaystyle \lambda^{k-2}_{}$ +...+ ak

по модулю меньше 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64568

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .