Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 76]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На доске написаны $2n$ последовательных целых чисел. За ход можно
разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару
чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно
вычитать из большего числа меньшее; все замены происходят
одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $2n$
последовательных чисел.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дана возрастающая последовательность положительных чисел $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$ бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ...
либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Дана строго возрастающая функция $f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ (где $\mathbb{N}_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in \mathbb{N}_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.
a1, a2, a3, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что
aak = 3k для любого k.
Найти а) a100; б) a1983.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Последовательность натуральных чисел an строится следующим образом: a0 – некоторое натуральное число; an+1 = ⅕ an, если an делится на 5;
an+1 = [
an], если an не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность an возрастает.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 76]
Фильтр
