Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 74]

Задача 79402

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Доказать, что последовательность x_n = sin(n²) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Прислать комментарий Решение

Задача 109599

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Голованов А.С.

Докажите, что для любого натурального числа a₁ > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ...,
что делится на a₁ + a₂ + ... + a_k при всех k ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109603

Темы:	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого k = 1, 2, 3, ... сумма первых k членов последовательности делится на k?

Прислать комментарий Решение

Задача 60873

Темы:	[	Число e	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Иррациональность числа e. Число e определяется равенством e = $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ $\left(\vphantom{1+\dfrac1n}\right.$ 1 + ${\dfrac{1}{n}}$ $\left.\vphantom{1+\dfrac1n}\right)^{n}_{}$ . Докажите, что
а) e = $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$ $\left(\vphantom{ 2+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}}\right.$ 2 + ${\dfrac{1}{2!}}$ + ${\dfrac{1}{3!}}$ +...+ ${\dfrac{1}{n!}}$ $\left.\vphantom{ 2+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}}\right)$ ;

б) e = 2 + ${\dfrac{1}{2!}}$ + ${\dfrac{1}{3!}}$ +...+ ${\dfrac{1}{n!}}$ + r_n, где 0 < r_n $\leqslant$ ${\dfrac{1}{n!\,n}}$ ;

в) e — иррациональное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97900

Темы:	[	Квадратные неравенства и системы неравенств	]
Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

При каком натуральном K величина достигает максимального значения?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 74]