|
|
 |
Условие
Дана возрастающая последовательность положительных чисел $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$ бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.
Решение
Очевидно, что $b_{1} = 1$, а при $k$ > 1 отношение из условия меньше $k$, поэтому $b_k\leqslant k$ при всех натуральных $k$. Если последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... не совпадает с натуральным рядом, то $b_k\leqslant k - 1$ при некотором $k$.
Тогда $a_i + a_{i+1} + ... + a_{i+k-1} \leqslant (k - 1)a_{i+k-1}$ для каждого целого $i$, откуда $ka_i < (k - 1)a_{i+k-1}$. Обозначив $t = \dfrac{k-1}{k}< 1$, получаем $a_i < ta_{i+k-1} < ta_{i+k}$. Следовательно, $a_i < ta_{i+k} < t^2a_{i+2k} < ... < t^qa_{i+qk} < t^qa_{i+qk+r}$ при $r$ > 0. (*)
Оценим отношение $\dfrac{a_{i+n}+a_{i+n-1}+...+a_{i+1}}{a_{i+n}} = \dfrac{a_{i+n}}{a_{i+n}} + \dfrac{a_{i+n-1}}{a_{i+n}} + ... + \dfrac{a_{i+1}}{a_{i+n}}.$ В этой сумме первые $k$ слагаемых не превосходят 1, следующие $k$ не превосходят $t$, следующие $k$ не превосходят $t^2$ и т.д. Итак,
$\dfrac{a_{i+n}+a_{i+n-1}+...+a_{i+1}}{a_{i+n}} < k(1 + t + t^2 + ...) = \dfrac{k}{1-t} = k^2.$ Это значит, что $b_n\leqslant k^2$ при любом натуральном $n$. Поскольку последовательность $(b_n)$, очевидно, не убывает, то она стабилизируется на числе, не большем $k^2$.
Замечания
10 баллов
