ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64568
Темы:    [ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?


Решение

  Рассмотрим четыре монеты, лежащие подряд. По условию среди них не может быть более одной трёхкопеечной монеты, более двух двухкопеечных и более двух копеечных монет.

  Если при этом в четвёрке есть две двухкопеечные монеты, то между ними лежат две монеты, одна из которых трёхкопеечная: копеечные монеты лежать рядом не могут. Таким образом, среди любых четырёх монет, лежащих подряд, есть ровно одна трёхкопеечная монета.
  Так как  101 = 4·25 + 1,  то трёхкопеечных монет – либо 25, либо 26.
  Примеры: для 25 монет:  1, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 2, ..., 1, 3, 1, 2, 1;  для 26 монет:  3, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ..., 3, 1, 2, 1, 3.

Ответ

25 или 26.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 8
задача
Номер 8.4.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .