Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]

Задача 61305

Темы:	[	Числовые последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Итерации	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y=x. Затем на графике функции отмечаются точки A₀(x₀,f(x₀)), A₁(x₁,f(x₁)),..., A_n(x_n,f(x_n)),... а на биссектрисе координатного угла — точки B₀(x₀,x₀), B₁(x₁,x₁),..., B_n(x_n,x_n),... Ломаная B₀A₀B₁A₁... B_nA_n... называется итерационной.
Постройте итерационные ломаные для следующих данных:
а) f (x) = 1 + ${\dfrac{x}{2}}$ ,    x₀ = 0, x₀ = 8;
б) f (x) = ${\dfrac{1}{x}}$ ,    x₀ = 2;
в) f (x) = 2x - 1,    x₀ = 0, x₀ = 1, 125;
г) f (x) = - ${\dfrac{3x}{2}}$ + 6,     x₀ = ${\dfrac{5}{2}}$ ;
д) f (x) = x² + 3x - 3,    x₀ = 1, x₀ = 0, 99, x₀ = 1, 01;
е) f (x) = $\sqrt{1+x}$ ,    x₀ = 0, x₀ = 8;
ж) f (x) = ${\dfrac{x^3}{3}}$ - ${\dfrac{5x^2}{2}}$ + ${\dfrac{25x}{6}}$ + 3,     x₀ = 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61306

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Последовательность чисел {a_n} задана условиями

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61304

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Непрерывные функции (общие свойства)	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Метод итераций. Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись f (x) = x, применяется метод итераций. Сначала выбирается некоторое число x₀, а затем строится последовательность {x_n} по правилу x_{n + 1} = f (x_n) (n $\geqslant$ 0). Докажите, что если эта последовательность имеет предел x* = $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n, и функция f (x) непрерывна, то этот предел является корнем исходного уравнения: f (x*) = x^*.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61308

Тема:

[

Предел последовательности, сходимость

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Числа a₁, a₂, ..., a_k таковы, что равенство

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ (x_n + a₁x_{n - 1} +...+ a_kx_{n - k}) = 0

возможно только для тех последовательностей {x_n}, для которых $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = 0. Докажите, что все корни многочлена

P( $\displaystyle \lambda$ ) = $\displaystyle \lambda^{k}_{}$ + a₁ $\displaystyle \lambda^{k-1}_{}$ + a₂ $\displaystyle \lambda^{k-2}_{}$ +...+ a_k

по модулю меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64568

Темы:	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]