Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
Даны числа a , b , c . Докажите, что хотя бы одно из уравнений x2+(a-b)x+(b-c)=0 , x2+(b-c)x+(c-a)=0 , x2+(c-a)x+(a-b)=0
имеет решение.
0 , то есть оно имеет решение.
В клетках таблицы 10x 10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу.
За один ход разрешается поменять местами любые два числа.
Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.
Простыми могут оказаться только суммы чисел в соседних клетках lj и rj из разных половин, примыкающих к линии m . Будем теперь менять местами числа только из правой половины так, чтобы суммы чисел в парах клеток (lj,rj) ( j = 1,2,..,10 ) стали делиться на три. Это можно сделать, так как в правой половине не менее, чем по 16 чисел дают остатки 0, 1 и 2 при делении на три, а для требуемой перестановки может потребоваться не более, чем по 10 чисел, дающих эти остатки. Полученная не более чем за 25 + 10 = 35 операций таблица– искомая.
На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M . Прямые, проведенные
через M перпендикулярно диагоналям BD и AC , пересекают прямую
AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB ,
QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение BM/MC ?
Обозначим через R точку пересечения PB , QC и AM (см. рис.). Заметим, что PM|| AC , MQ|| BD , поэтому четырехугольники PMCA и QMBD – параллелограммы. Значит, MC=PA , BM=DQ и PQ=PA+AD+DQ=MC+AD+BM=2BC . Так как BC|| PQ и BC=
PQ , то BC – средняя линия треугольника PRQ .
Значит, и BM – средняя линия треугольника ARP . Тогда MC=PA=2BM .
Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус.
На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них.
После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка.
Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?
Приведем один из возможных вариантов договоренности.
Рассмотрим 2007 дуг, на которые разбили окружность отмеченные точки. Пусть AB – наибольшая из них (если их несколько, то возьмем любую), и пусть эта дуга лежит по часовой стрелке от точки A (и против часовой– от точки B ). Тогда помощник должен стереть точку A .
Покажем, что фокусник сможет указать полуокружность, на которой находилась стертая точка. Войдя в комнату, он увидит окружность, разбитую на 2006 дуг. Ясно, что стертая точка будет находиться на наибольшей из дуг (она уже единственна, так как наибольшая дуга после стирания ее конца увеличилась). Более того, если сейчас наибольшая дуга– CB (и она находится по часовой стрелке от C ), то AB
CA (см. рис.). Поэтому, если X – середина CB , то A лежит на CX .
Поэтому фокусник может выделить полуокружность, находящуюся по часовой стрелке от C (она содержит CX ).
От Майкопа до Белореченска 24 км. Три друга должны добраться: двое из Майкопа в Белореченск, а третий– из Белореченска в Майкоп. У них есть один велосипед, первоначально находящийся в Майкопе. Каждый из друзей может идти (со скоростью не более 6 км/час) и ехать на велосипеде (со скоростью не более 18 км/час). Оставлять велосипед без присмотра нельзя. Докажите, что через 2 часа 40 минут все трое друзей
могут оказаться в пунктах назначения. Ехать на велосипеде вдвоем нельзя.
В течение 24 : (18 + 6) = 1 часа все движутся навстречу друг другу (первый– на велосипеде), при этом первый и третий друзья встретятся и первый передаст велосипед третьему. В этот момент второй, прошедший 6км, должен остановиться и дожидаться третьего, едущего к нему навстречу на велосипеде. Первый в это время тоже может отдохнуть. Третий через (24 - 6 - 6) : 18 = 2/3 часа доедет до стоящего второго и передаст ему велосипед. После этого второй доедет до Белореченска, третий дойдет до Майкопа, а первый– до Белореченска за 1 час. Всего с начала движения прошло 1+2/3+1 часов, т.е. 2 часа 40 минут.
Замечание. Можно показать, что за меньшее время все трое добраться не смогут.
Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
Задача 111850 (#07.5.8.1) |
|
|
Решение
Так как (b-c)+(c-a)+(a-b)=0 , то одно из слагаемых неположительно; пусть для определенности это b-c . Тогда дискриминант первого уравнения (a-b)2-4(b-c)
|
|
Задача 111851 (#07.5.8.2) |
|
|
Решение
Разделим таблицу вертикальной линией m пополам. В одной из половин, например в правой, окажется не более 25 четных чисел. Такое же количество нечетных чисел окажется в левой половине. Меняя местами пары таких чисел разной четности, не более чем за 25 операций можно получить таблицу, у которой в правой половине все числа– нечетные, а в левой– четные. Сумма чисел в каждой паре соседних клеток в каждой из половин– четное (и большее 2), а потому составное число.Простыми могут оказаться только суммы чисел в соседних клетках lj и rj из разных половин, примыкающих к линии m . Будем теперь менять местами числа только из правой половины так, чтобы суммы чисел в парах клеток (lj,rj) ( j = 1,2,..,10 ) стали делиться на три. Это можно сделать, так как в правой половине не менее, чем по 16 чисел дают остатки 0, 1 и 2 при делении на три, а для требуемой перестановки может потребоваться не более, чем по 10 чисел, дающих эти остатки. Полученная не более чем за 25 + 10 = 35 операций таблица– искомая.
|
|
|
Задача 111852 (#07.5.8.3) |
|
|
Решение
Обозначим через R точку пересечения PB , QC и AM (см. рис.). Заметим, что PM|| AC , MQ|| BD , поэтому четырехугольники PMCA и QMBD – параллелограммы. Значит, MC=PA , BM=DQ и PQ=PA+AD+DQ=MC+AD+BM=2BC . Так как BC|| PQ и BC=
Ответ
1/2 .|
|
|
Задача 111853 (#07.5.8.4) |
|
|
Решение
Приведем один из возможных вариантов договоренности.
Рассмотрим 2007 дуг, на которые разбили окружность отмеченные точки. Пусть AB – наибольшая из них (если их несколько, то возьмем любую), и пусть эта дуга лежит по часовой стрелке от точки A (и против часовой– от точки B ). Тогда помощник должен стереть точку A .
Покажем, что фокусник сможет указать полуокружность, на которой находилась стертая точка. Войдя в комнату, он увидит окружность, разбитую на 2006 дуг. Ясно, что стертая точка будет находиться на наибольшей из дуг (она уже единственна, так как наибольшая дуга после стирания ее конца увеличилась). Более того, если сейчас наибольшая дуга– CB (и она находится по часовой стрелке от C ), то AB
|
|
|
Задача 111854 (#07.5.8.5) |
|
|
Решение
В течение 24 : (18 + 6) = 1 часа все движутся навстречу друг другу (первый– на велосипеде), при этом первый и третий друзья встретятся и первый передаст велосипед третьему. В этот момент второй, прошедший 6км, должен остановиться и дожидаться третьего, едущего к нему навстречу на велосипеде. Первый в это время тоже может отдохнуть. Третий через (24 - 6 - 6) : 18 = 2/3 часа доедет до стоящего второго и передаст ему велосипед. После этого второй доедет до Белореченска, третий дойдет до Майкопа, а первый– до Белореченска за 1 час. Всего с начала движения прошло 1+2/3+1 часов, т.е. 2 часа 40 минут.
Замечание. Можно показать, что за меньшее время все трое добраться не смогут.
|
|
|
Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
