Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]
Задача
111855
(#07.5.8.6)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9
|
Через точку I пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и N
соответственно. Треугольник BMN оказался остроугольным. На стороне AC выбраны точки K и L так, что ∠ILA = ∠IMB, ∠IKC = ∠INB. Докажите, что
AM + KL + CN = AC.
Задача
111856
(#07.5.8.7)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9
|
Для натурального n > 3 будем обозначать через n? (n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Решите уравнение n? = 2n + 16.
Задача
111857
(#07.5.8.8)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?
Задача
111842
(#07.5.9.1)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Приведённые квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что уравнения f(g(x)) = 0 и g(f(x)) = 0 не имеют вещественных корней.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений f(f(x)) = 0 и g(g(x)) = 0 тоже не имеет вещественных корней.
Задача
111843
(#07.5.9.2)
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу.
Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.
Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]
Фильтр
