ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      



Задача 109188

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Вокруг правильного 7-угольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников одинаковы.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109189

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причем хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых - нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением).
Прислать комментарий     Решение


Задача 109191

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса R. К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен Q. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109196

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В числе  a = 0,12457...  n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе    Докажите, что α – иррациональное число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109192

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Оберткой плоской картины размером 1x1 назовем прямоугольный лист бумаги площади 2, которым можно, не разрезая его, полностью обернуть картину с обеих сторон. Ясно, что прямоугольник 2x1 и квадрат со стороной - обертки.

а) Докажите, что есть и другие обертки.

б) Докажите, что оберток бесконечно много.

 

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .