Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]

Задача 109188

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Вокруг правильного 7-угольника описали окружность и вписали в него окружность. То же проделали с правильным 17-угольником. В результате каждый из многоугольников оказался расположенным в своем круговом кольце. Оказалось, что площади этих колец одинаковы. Докажите, что стороны многоугольников одинаковы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109189

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причем хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых - нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением).

Прислать комментарий Решение

Задача 109191

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса R. К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен Q. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.

Прислать комментарий Решение

Задача 109196

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе . Докажите, что a - иррациональное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109192

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Оберткой плоской картины размером 1x1 назовем прямоугольный лист бумаги площади 2, которым можно, не разрезая его, полностью обернуть картину с обеих сторон. Ясно, что прямоугольник 2x1 и квадрат со стороной - обертки.

а) Докажите, что есть и другие обертки.

б) Докажите, что оберток бесконечно много.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]