Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1264]

Задача 60274 (#01.001)

[Деление с остатком]

Тема:

[

Деление с остатком

]

Сложность: 2+
Классы: 6,7,8,9

Докажите, что если a и b — целые числа и b $\ne$ 0, то существует единственная пара чисел q и r таких, что

a = bq + r, 0 $\displaystyle \leqslant$ r < | b|.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60275 (#01.002)

Тема:

[

Системы счисления (прочее)

]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Позиционная система счисления. Докажите, что при q $\geqslant$ 2 каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = a_kq^k + a_{k - 1}q^{k - 1} +...+ a₁q + a₀,

где 0 $\leqslant$ a₀,..., a_k < q

Прислать комментарий

Решение

Задача 60276 (#01.003)

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
Темы:	[	Деление с остатком	]

Сложность: 3-
Классы: 9,10

Пусть {a_n} = a₀, a₁,..., a_n,... — периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T

a_{n + T} = a_n (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t, причем T делится на t без остатка.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60277 (#01.004)

Тема:

[

Индукция (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a $\leqslant$ k < n вытекает его справедливость для n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел k $\geqslant$ a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60278 (#01.005)

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Число x таково, что число x + ${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном n число xⁿ + ${\frac{1}{x^n}}$ также является целым.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60279 (#01.006)

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Даны натуральные числа x₁, ..., x_n. Докажите, что число

(1 + x₁²)...(1 + x_n²)

можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60280 (#01.007)

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Числовая последовательность A₁, A₂,..., A_n,... определена равенствами

A₁ = 1, A₂ = - 1, A_n = - A_{n - 1} - 2A_{n - 2} (n $\displaystyle \geqslant$ 3).

Докажите, что при n $\geqslant$ 2 число 2^{n + 2} - 7A_n² является полным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60281 (#01.008)

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 2
Классы: 7,8,9

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2n - 1) = n².

Прислать комментарий Решение

Задача 60282 (#01.009)

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

Докажите тождество: 1² + 2² +...+ n² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ n(n + 1)(2n + 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60283 (#01.010)

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите тождество: 1² + 3² +...+ (2n - 1)² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ n(2n - 1)(2n + 1).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1264]