ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 74]      



Задача 67201

Тема:   [ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Дана строго возрастающая функция $f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ (где $\mathbb{N}_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in \mathbb{N}_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 97817

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Анджанс А.

a1, a2, a3, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  aak = 3k  для любого k.
Найти   а)  a100;   б)  a1983.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109784

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Последовательность натуральных чисел an строится следующим образом: a0 – некоторое натуральное число;  an+1 = ⅕ an,  если an делится на 5;
an+1 = [ an],  если an не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность an возрастает.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65118

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Задачи с ограничениями ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65125

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Задачи с ограничениями ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 11

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 74]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .