Каталог по темам

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 113]

Задача 73683

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Лопшиц А.Л.

Последовательность x₀, x₁, x₂, ... определена следующими условиями: x₀ = 1, x₁ = λ, для любого n > 1 выполнено равенство

(α + β)ⁿx_n = αⁿx_nx₀ + α^n–1βx_n–1x₁ + α^n–2β²x_n–2x₂ + ... + βⁿx₀x_n.

Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдите x_n и выясните, при каком n величина x_n наибольшая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97884

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

Последовательность чисел x₁, x₂, ... такова, что x₁ = ½ и для всякого натурального k.

Найдите целую часть суммы

Прислать комментарий

Решение

Задача 109784

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Последовательность натуральных чисел a_n строится следующим образом: a₀ – некоторое натуральное число; a_n+1 = ⅕ a_n, если a_n делится на 5;
a_n+1 = [ a_n], если a_n не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность a_n возрастает.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61250

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть

u_k = $\displaystyle {\dfrac{\sin2nx\cdot\sin(2n-1)\cdot x\ldots\cdot\sin(2n-k+1)x}{\sin kx\cdot\sin(k-1)x\cdot\ldots\cdot\sin x}}$ .

Докажите, что числа u_k можно представить в виде многочлена от cos x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98388

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 113]