Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]

Задача 77908

Темы:	[	Иррациональные уравнения	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
	[	Уравнения с модулями	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Решить уравнение: + = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78667

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 11

По заданной последовательности положительных чисел q₁,..., q_n, ... строится последовательность многочленов следующим образом:
f₀(x) = 1,
f₁(x) = x,
...
f_n+1(x) = (1 + q_n)xf_n(x) – q_nf_n–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35377

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116773

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Раскраски	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Авторы: Богданов И.И., Сухов К.

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64771

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Иванов Г.

В сейфе n ячеек с номерами от 1 до n. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в i-й ячейке оказалась карточка с числом a_i. Петя может менять местами любые две карточки с номерами x и y, платя за это 2|x – y| рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более |a₁ – 1| + |a₂ – 2| + ... + |a_n – n| рублей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]