ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 69]      



Задача 78092

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Итерации ]
Сложность: 3+
Классы: 11

На продолжениях сторон A1A2, A2A3, ..., AnA1 правильного n-угольника (n ≥ 5) A1A2...An построить точки B1, B2, ..., Bn так, чтобы B1B2 было перпендикулярно к A1A2, B2B3 перпендикулярно к A2A3, ..., BnB1 перпендикулярно к AnA1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61333

 [Метод Лобачевского]
Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  имеет корни  x1, x2, ..., xn,  причем  |x1| > |x2| > ... > |xn|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P0(x), P1(x), P2(x), ...,  что  P0(x) = P(x)  и многочлен Pk(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61481

Темы:   [ Текстовые задачи (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79246

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Итерации ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей  K = p1p2...pn;  затем вычисляется сумма  p1 + p2 + ... + pn + 1.  С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98214

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В каждой целой точке числовой оси расположена лампочка с кнопкой, при нажатии которой лампочка меняет состояние – загорается или гаснет. Вначале все лампочки погашены. Задано конечное множество целых чисел – шаблон S. Его можно перемещать вдоль числовой оси как жесткую фигуру и, приложив в любом месте, поменять состояние множества всех лампочек, закрытых шаблоном. Докажите, что при любом S за несколько операций можно добиться того, что будут гореть ровно две лампочки.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 69]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .