ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78092
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Итерации ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На продолжениях сторон A1A2, A2A3, ..., AnA1 правильного n-угольника (n ≥ 5) A1A2...An построить точки B1, B2, ..., Bn так, чтобы B1B2 было перпендикулярно к A1A2, B2B3 перпендикулярно к A2A3, ..., BnB1 перпендикулярно к AnA1.


Решение

Пусть  xk = Ak+1Bk,  α — внешний угол правильного n-угольника, a — длина его стороны. Тогда  x1 = (a + x2) cos α,  x2 = (a + x3) cos α,  ...,
xn = (a + x1) cos α.  Тогда  x1 = a1 + b1x2 = a2 + b2x3 = ... = an + bnx1,  где  bn = (cos α)n ≠ 1.  Поэтому x1 (а также и xk для любого k) определено однозначно. Ясно также, что мы получим решение, если положим  x1 = x2 = ... = xn = x,  где  x = (a + x) cos α,  то есть  

Замечания

Ср. с задачей 78077.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 19
Год 1956
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .