Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 144]

Задача 55723

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Виленкин А.Н.

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ взята точка P. Из вершины A₁ опущен перпендикуляр на A₂P, из A₂ — перпендикуляр на A₃P, из A₃ — на A₄P, из A₄ — на A₁P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекается в одной точке.

Подсказка

Рассмотрите поворот на 90^o вокруг центра квадрата.

Решение

При повороте вокруг центра квадрата на 90^o, переводящем точку A₁ в точку A₂, перпендикуляры, опущенные из вершин A₁, A₂, A₃, A₄, переходят в прямые A₂P, A₃P, A₄P и A₁P соответственно. Поэтому точкой их пересечения является образ точки P при обратном повороте.

Прислать комментарий

Задача 108136

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём 2∠MON = ∠AOC. Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.

Решение

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. При повороте вокруг точки O, переводящем вершину B в A, точка M переходит в некоторую точку K, а при повороте вокруг точки O, переводящем вершину B в C, точка N переходит в некоторую точку L. При этом треугольник AOK равен треугольнику BOM, а треугольник COL – треугольнику BON. Поскольку OK = OM, OL = ON и ∠KOL = AOC – (∠AOK + ∠LOC) = ∠AOC – ∠MON = ∠MON, то треугольники KOL и MON равны. Поэтому KL = MN. Следовательно, P_MBN = BM + MN + NB = AK + KL + LC ≥ AC.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Прислать комментарий

Задача 78809

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы ``Г'' . Концы коротких палочек у букв ``Г'' обозначим через A и A'. Длинные палочки разделены на n равных частей точками a₁, ..., a_{n - 1}; a'₁, ..., a'_{n - 1} (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые Aa₁, Aa₂, ..., Aa_{n - 1}; A'a₁, A'a'₂, ..., A'a'_{n - 1}. Точку пересечения прямых Aa₁ и A'a₁ обозначим через X₁, прямых Aa₂ и A'a₂ — через X₂ и т.д. Доказать, что точки X₁, X₂, ..., X_{n - 1} образуют выпуклый многоугольник.

Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.

Решение

Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение. Пусть поворот с центром O переводит прямую l₁ в прямую l₂, а точку A₁, лежащую на прямой l₁, — в точку A₂. Тогда точка пересечения прямых l₁ и l₂ лежит на описанной окружности треугольника A₁OA₂. Действительно, пусть P — точка пересечения прямых l₁ и l₂. Тогда $\angle$ (OA₁, A₁P) = $\angle$ (OA₁, l₁) = $\angle$ (OA₂, l₂) = $\angle$ (OA₂, A₂P). Поэтому точки O, A₁, A₂ и P лежат на одной окружности. Одинаковые буквы ``Г'' можно совместить поворотом с некоторым центром O (если они совмещаются параллельным переносом, то Aa_i || A'a_i'). Согласно только что доказанному вспомогательному утверждению точка X_i лежит на описанной окружности треугольника A'OA. Ясно, что точки, лежащие на одной окружности, образуют выпуклый многоугольник.

Прислать комментарий

Задача 79267

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Ломаные	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бернштейн И.Д.

На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.

Решение

Обозначим отрезки, которые пробегает лев, через I₁, I₂, ..., I_k, а углы, на которые он при этом поворачивает, – через α₁, ..., α_k–1 (всего k отрезков и k – 1 поворот). Представим движение льва следующим образом.
Пусть лев пробежал отрезок AA₁ = I₁. Повернём вокруг него (то есть вокруг точки A₁) арену на угол α₁ так, чтобы отрезок I₂ оказался продолжением отрезка I₁. После того как лев пробежит отрезок A₁A₂ = I₂, повернём вокруг него арену на угол α₂, так, чтобы отрезок I₃ стал продолжением отрезка I₂ и так далее. Тогда лев будет бежать по прямой и пробежит отрезок AA_k = 30000 (м), где A – начальная точка, a A_k – конечная.
Проследим за движением центра арены – точки O. Вначале точка O поворачивается вокруг точки A₁ на угол α₁, затем – вокруг точки A₂ на угол α₂ и так далее. Всякий раз центр арены O отстоит от центра вращения не больше, чем на 10 м, так как центр вращения – это лев, находящийся внутри арены. Поэтому при первом повороте точка O переместится не более чем на 10α₁ (м), при втором – не более чем на 10α₂ и так далее (углы измеряются в радианах). Всего точка O переместится не более, чем на 10(α₁ + ... + α_k–1) (м).
Поскольку OA ≤ 10, O'A_k ≤ 10 и AA_k = 30000, то OO' ≥ 29980 (м). Отсюда α₁ + ... + α_k–1 ≥ ¹/₁₀ OO ≥ 2998 (рад).

Прислать комментарий

Задача 55719

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.

Подсказка

См. задачу 116237.

Решение

Правильный n-угольник переходит в себя при повороте на угол вокруг его центра. При этом n-угольник с вершинами в серединах сторон данного также переходит в себя. Следовательно, он правильный.

Прислать комментарий

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 144]