Задача 78809

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы ``Г'' . Концы коротких палочек у букв ``Г'' обозначим через A и A'. Длинные палочки разделены на n равных частей точками a₁, ..., a_{n - 1}; a'₁, ..., a'_{n - 1} (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые Aa₁, Aa₂, ..., Aa_{n - 1}; A'a₁, A'a'₂, ..., A'a'_{n - 1}. Точку пересечения прямых Aa₁ и A'a₁ обозначим через X₁, прямых Aa₂ и A'a₂ — через X₂ и т.д. Доказать, что точки X₁, X₂, ..., X_{n - 1} образуют выпуклый многоугольник.

Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.

Решение

Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение. Пусть поворот с центром O переводит прямую l₁ в прямую l₂, а точку A₁, лежащую на прямой l₁, — в  точку A₂. Тогда точка пересечения прямых l₁ и l₂ лежит на описанной окружности треугольника A₁OA₂. Действительно, пусть P — точка пересечения прямых l₁ и l₂. Тогда (OA₁, A₁P) = (OA₁, l₁) = (OA₂, l₂) = (OA₂, A₂P). Поэтому точки O, A₁, A₂ и P лежат на одной окружности. Одинаковые буквы ``Г'' можно совместить поворотом с некоторым центром O (если они совмещаются параллельным переносом, то Aa_i || A'a_i'). Согласно только что доказанному вспомогательному утверждению точка X_i лежит на описанной окружности треугольника A'OA. Ясно, что точки, лежащие на одной окружности, образуют выпуклый многоугольник.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	35
Год	1972
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	2