Страница:
<< 20 21 22 23
24 25 26 >> [Всего задач: 131]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются
в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов.
Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком
лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не
обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы ``Г'' . Концы
коротких палочек у букв ``Г'' обозначим через
A и
A'. Длинные палочки
разделены на
n равных частей точками
a1, ...,
an - 1;
a'1,
...,
a'n - 1 (точки деления нумеруются от концов длинных палочек).
Проводятся прямые
Aa1,
Aa2, ...,
Aan - 1;
A'a1,
A'a'2,
...,
A'a'n - 1. Точку пересечения прямых
Aa1 и
A'a1 обозначим
через
X1, прямых
Aa2 и
A'a2 — через
X2 и т.д. Доказать, что
точки
X1,
X2, ...,
Xn - 1 образуют выпуклый многоугольник.
Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
а) Докажите, что при
n>4
любой выпуклый
n -угольник
можно разрезать на
n тупоугольных треугольников.
б) Докажите, что при любом
n существует выпуклый
n -угольник,
который нельзя разрезать меньше, чем на
n тупоугольных
треугольников.
в) На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно
разрезать прямоугольник?
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Докажите, что любой выпуклый многоугольник
содержит два
непересекающихся многоугольника
и
, подобных
с коэффициентом 1/2.
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Внутри круга расположены точки A1, A2, ..., An, а на его границе – точки B1, B2, ..., Bn так, что отрезки A1B1, A2B2, ..., AnBn не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки Ai в точку Aj, если отрезок AiAj не пересекается ни с одним из отрезков AkBk, k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки Ap в любую точку Aq.
Страница:
<< 20 21 22 23
24 25 26 >> [Всего задач: 131]