Каталог по темам

Задачи

Страница: << 48 49 50 51 52 53 54 >> [Всего задач: 841]

Задача 55682

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Вписанная окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках B₁ и A₁ соответственно. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 57307

Тема:

[

Неравенства с медианами

]

Сложность: 4
Классы: 8

Точки A₁,..., A_n не лежат на одной прямой. Пусть две разные точки P и Q обладают тем свойством, что A₁P + ... + A_nP = A₁Q + ... + A_nQ = s. Докажите, что тогда A₁K + ... + A_nK < s для некоторой точки K.

Прислать комментарий Решение

Задача 57314

Тема:

[

Алгебраические задачи на неравенство треугольника

]

Сложность: 4
Классы: 8

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Пусть p = ${\frac{a}{b}}$ + ${\frac{b}{c}}$ + ${\frac{c}{a}}$ и q = ${\frac{a}{c}}$ + ${\frac{c}{b}}$ + ${\frac{b}{a}}$ . Докажите, что | p - q| < 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 57338

Тема:

[

Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон

]

Сложность: 4
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что 4S $\leq$ AM^.BC + BM^.AC + CM^.AB, где S — площадь треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57346

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 4
Классы: 9

а) Точки B, C и D делят (меньшую) дугу AE окружности на четыре равные части. Докажите, что S_ACE < 8S_BCD.
б) Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности. Через середину D (меньшей) дуги BC проведена касательная, пересекающая отрезки AB и AC в точках M и N. Докажите, что S_BCD < 2S_MAN.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 48 49 50 51 52 53 54 >> [Всего задач: 841]