Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 107]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром O и описан около окружности с центром I. Точка B', симметричная точке B относительно прямой OI, лежит внутри угла ABI. Докажите, что касательные к описанной окружности треугольника BB'I, проведённые в точках B' и I, пересекаются на прямой AC.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не
изменяется, а его периметр не увеличивается.
|
|
|
Сложность: 7-
Классы: 9,10,11
|
Четырехугольник
ABCD вписан в окружность с
центром
O . Точки
C' ,
D' симметричны ортоцентрам
треугольников
ABD и
ABC относительно
O . Докажите, что если
прямые
BD и
BD' симметричны относительно биссектрисы угла
B ,
то прямые
AC и
AC' симметричны относительно биссектрисы угла
A .
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 10,11
|
Предлагается построить
N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек
Mi и
Mj, где
i и
j — любые числа
от 1 до N.
Можно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?
б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?
в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?
Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.
Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 107]
Фильтр
