Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 108]
|
|
Сложность: 7+ Классы: 9,10,11
|
Докажите, что если существует цепочка окружностей
S1,
S2,...,
Sn, каждая из которых касается двух соседних
(
Sn касается
Sn - 1 и
S1) и двух данных непересекающихся
окружностей
R1 и
R2, то таких цепочек бесконечно много.
А именно, для любой окружности
T1, касающейся
R1 и
R2
(одинаковым образом, если
R1 и
R2 не лежат одна в другой,
внешним и внутренним образом в противном случае), существует
аналогичная цепочка из
n касающихся окружностей
T1,
T2,...,
Tn (
поризм Штейнера).
|
|
Сложность: 7+ Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для двух непересекающихся окружностей
R1 и
R2
цепочка из
n касающихся окружностей (см. предыдущую задачу)
существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями
T1
и
T2, касающимися
R1 и
R2 в точках их пересечения с прямой,
соединяющей центры, равен целому кратному угла
360
o/
n (рис.).
|
|
Сложность: 7+ Классы: 9,10,11
|
Каждая из шести окружностей касается четырех
из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой
пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их
радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением
d2 =
r12 +
r22±6
r1r2 (к плюск — если окружности не
лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).
а) Постройте с помощью одного циркуля отрезок, который в два раза длиннее данного отрезка.
б) Постройте с помощью одного циркуля отрезок, который в
n раз длиннее данного отрезка.
Постройте с помощью одного циркуля точку, симметричную точке
A относительно прямой,
проходящей через данные точки
B и
C.
Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 108]