Страница:
<< 6 7 8 9
10 11 12 >> [Всего задач: 108]
На плоскости взяты шесть точек
A1,
A2,
B1,
B2,
C1,
C2.
Докажите, что если окружности, описанные около треугольников
A1B1C1,
A1B2C2,
A2B1C2,
A2B2C1,
проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников
A2B2C2,
A2B1C1,
A1B2C1,
A1B1C2, проходят через
одну точку.
|
|
Сложность: 7 Классы: 9,10,11
|
Докажите, что две непересекающиеся окружности
S1 и
S2
(или окружность и прямую) можно при помощи
инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
|
|
Сложность: 7 Классы: 9,10,11
|
Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические
центры треугольника переходят друг в друга.
[Теорема Фейербаха]
|
|
Сложность: 7 Классы: 9,10,11
|
а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон
треугольника, касается его вписанной и трех
вневписанных окружностей (Фейербах).
б) На сторонах
AB и
AC треугольника
ABC взяты точки
C1 и
B1 так, что
AC1 =
B1C1 и вписанная окружность
S треугольника
ABC является
вневписанной окружностью треугольника
AB1C1. Докажите, что вписанная
окружность треугольника
AB1C1 касается окружности, проходящей через
середины сторон треугольника
ABC.
|
|
Сложность: 7+ Классы: 9,10,11
|
Окружности
S1,
S2,...,
Sn касаются двух окружностей
R1
и
R2 и, кроме того,
S1 касается
S2 в точке
A1,
S2
касается
S3 в точке
A2...,
Sn - 1 касается
Sn в точке
An - 1. Докажите, что точки
A1,
A2,...,
An - 1
лежат на одной окружности.
Страница:
<< 6 7 8 9
10 11 12 >> [Всего задач: 108]