Страница:
<< 18 19 20 21
22 23 24 >> [Всего задач: 171]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ с центром описанной окружности $O$ проведены высоты $AH_a$ и $BH_b$. Точки $X$ и $Y$ симметричны точкам $H_a$ и $H_b$ относительно середин сторон $BC$ и $CA$ соответственно. Докажите, что прямая $CO$ делит отрезок $XY$ пополам.
а) Дан выпуклый многоугольник A1A2...An. На стороне A1A2 взяты точки B1 и D2, на стороне A2A3 – точки B2 и D3, ..., на стороне AnA1 – точки Bn и D1 так, что если построить параллелограммы A1B1C1D1, A2B2C2D2, ..., AnBnCnDn, то прямые A1C1, A2C2, ..., AnCn пересекутся в одной точке. Докажите равенство A1B1·A2B2·...·AnBn = A1D1·A2D2·...·AnDn.
б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне
A1A2 выбраны точки
B1 и
D2, на стороне
A2A3 – точки
B2 и
D3, а на стороне
A3A1 – точки
B3 и
D1 так, что
A1B1·
A2B2·
A3B3 =
A1D1·
A2D2·
A3D3, то, построив параллелограммы
A1B1C1D1,
A2B2C2D2 и
A3B3C3D3, получим прямые
A1C1,
A2C2 и
A3C3, пересекающиеся в одной точке.
В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Медиана
AD пересекает её в точках X и Y. Найдите угол XOY, если AC = AB + AD.
Две окружности радиусов
R и
r касаются внешним образом в точке
A . На
окружности радиуса
r взята точка
B , диаметрально противоположная
точке
A , и в этой точке построена касательная
l . Найдите радиус
окружности, касающейся двух данных окружностей и прямой
l .
Страница:
<< 18 19 20 21
22 23 24 >> [Всего задач: 171]
Фильтр
