ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108067
Темы:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Федотов А.

В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Медиана AD пересекает её в точках X и Y. Найдите угол XOY, если  AC = AB + AD.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Докажите, что центр вписанной окружности лежит внутри треугольника ABD и воспользуйтесь методом площадей.


Решение

  Заметим, что  AC = AB + AD > AB,  поэтому биссектриса AO угла BAC проходит между сторонами угла BAD . Следовательно, точка O лежит внутри треугольника ABD и SABD = SOAB + SOBD + SAOD.
  Поскольку медиана делит площадь треугольника пополам, то  2SABD = 2(SOAB + SOBD + SAOD) = SABC,  то есть  2r(AB + BD) + 2dAD = r(AB + BC + AC).  Поскольку  AC = AB + AD  и  BC = 2BD,  то  2dAD = r(AB + BC + AC) – 2r(AB + BD) = r(AC – AB) = rAD.  Поэтому  2d = r,  то есть высота равнобедренного треугольника XOY, опущенная на основание XY, равна половине боковой стороны  OX = OY = r.  Следовательно,  ∠XOY = 120°.


Ответ

120°.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4347
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .