ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 65371

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I1 и I2 соответственно. Прямая I1I2 пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64476

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Стереографическая проекция ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Дана окружность ω и точка A вне её. Через A проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках B и C, а другая – в точках D и E (D лежит между A и E). Прямая, проходящая через D и параллельная BC, вторично пересекает ω в точке F, а прямая AF – в точке T. Пусть M – точка пересечения прямых ET и BC, а N – точка, симметричная A относительно M. Докажите, что описанная окружность треугольника DEN проходит через середину отрезка BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53134

 [Задача о бабочке]
Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Пусть A – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую l. На этой прямой взяты еще две точки B и C так, что
AB = AC.  Через точки B и C проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P и Q, вторая – в точках M и N. Пусть прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что  AR = AS.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66313

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что  AP = BQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65024

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Теорема Птолемея ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что  AB·CF = 2BC·FACD·EB = 2DE·BCEF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .