Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 181]

Задача 56931

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A₁. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A₁, а стороны BC — в точке A₂. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56932

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$ .

б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что $\angle$ CAM = $\angle$ ABN и $\angle$ CBM = $\angle$ BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56933

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Биссектрисы AA₁ и CC₁ пересекают отрезки C₁B₁ и B₁A₁ в точках M и N. Докажите, что $\angle$ MBB₁ = $\angle$ NBB₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 53897

Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Генкин С.А.

В треугольнике ABC проведены высоты AH, BK и CL. Докажите, что AK·BL·CH = AL·BH·CK = HK·KL·LH.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67089

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Швецов Д.В.

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $A_2$ – точка касания вписанной окружности треугольника $AB_1C_1$ со стороной $B_1C_1$; аналогично определяются точки $B_2$, $C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 181]