ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 83]      



Задача 109155

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Из условия tgϕ=1/ cosα cosβ+ tgα tgβ вывести, что cos 2ϕ 0 .
Прислать комментарий     Решение


Задача 61145

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что при нечётном  n > 1  справедливо равенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 109774

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Тригонометрические уравнения ]
[ Производные высших порядков ]
[ Методы математического анализа (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.

Докажите, что α=γ или α=τ .
Прислать комментарий     Решение

Задача 76515

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Некоторые из чисел a1, a2,...an равны +1, остальные равны -1. Доказать, что

2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots
+\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$a1 + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots
+\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ =
         = a1$\displaystyle \sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}$.

В частности, при a1 = a2 = ... = an = 1, имеем:

2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right.$1 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ =
         = $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111826

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Тригонометрические неравенства ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что при k>10 в произведении

f(x) = cos x cos 2x cos 3x .. cos 2k x

можно заменить один cos на sin так, что получится функция f1(x) , удовлетворяющая при всех действительных x неравенству |f1(x)| .
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 83]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .