Условие
Некоторые из чисел $a_1,a_2,\dots a_n$ равны +1, остальные равны -1.
Доказать, что
$$\begin{array}{l}
2\sin\left ( a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots
+\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}\right )\frac{\pi}{4}=\\
\qquad {} =a_1\sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}.
\end{array}
$$
В частности, при $a_1=a_2=\dots =a_n=1$ имеем:
$$\begin{array}{l}
2\sin\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}\right )
\frac{\pi}{4}=2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}=\\
\qquad {} =\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}.
\end{array}
$$
Решение
Применим индукцию по $n$. При $n = 1$ получаем очевидное тождество. Равенство
$$ 2\left( a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots
+\frac{a_1 a_2 \cdot \dots \cdot a_n a_{n+1}}{2^n} \right)\frac{\pi}{4} = $$
$$= a_1 \frac{\pi}2 + a_1 \left(a_2+\frac{a_2a_3}{2}+ \dots + \frac{a_2a_3\cdot\ldots\cdot a_{n+1}}{2^{n-1}}\right)\frac{\pi}{4} $$
показывает, что
$$ \cos 2\left( a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots
+\frac{a_1 a_2 \cdot \dots \cdot a_n a_{n+1}}{2^n} \right)\frac{\pi}{4}=$$
$$= - \sin \left(a_2+\frac{a_2a_3}{2}+ \dots + \frac{a_2a_3\cdot\ldots\cdot a_{n+1}}{2^{n-1}}\right)\frac{\pi}{4}.$$
Воспользовавшись этой формулой и тождеством
$2\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{2-2\cos\alpha}$, получим
$$ 2\sin\left( a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots
+\frac{a_1 a_2 \cdot \dots \cdot a_n a_{n+1}}{2^n} \right)\frac{\pi}{4} =$$
$$= \pm \sqrt{2+2\sin \left(a_2+\frac{a_2a_3}{2}+ \dots + \frac{a_2a_3\cdot\ldots\cdot a_{n+1}}{2^{n-1}}\right)\frac{\pi}{4}}.$$
Нетрудно также убедиться, что в действительности всегда берётся знак плюс,
поскольку знак числа $$a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots
+\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_na_{n+1}}{2^{n}}$$
совпадает со знаком числа $a_1$. Теперь, воспользовавшись предположением индукции, получаем требуемое тождество.
Источники и прецеденты использования
