Задача 109155

Тема:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Из условия tgϕ=1/ cosα cosβ+ tgα tgβ вывести, что cos 2ϕ 0 .

Решение

tgϕ=(1+ sinα sinβ)/ cosα cosβ . Положим, что sinϕ=(1+ sinα sinβ)c, cosϕ=c cosα cosβ . Тогда

cos 2ϕ= cos²ϕ- sin²ϕ= cos²α cos²β· c²-(1+ sinα sinβ)²c²=

=c²( cosα cosβ+1+ sinα sinβ)( cosα cosβ-1- sinα sinβ)=

=c²( cos(α-β)+1)( cos(α+β)-1).
Первые два сомножителя неотрицательны, а третий – неположителен. Поэтому cos 2ϕ неположителен.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1963
Номер	13
Название	13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
неизвестно
Название	Задача 10.6