Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник ABC. В нём H – точка пересечения высот, I – центр вписанной окружности, O – центр описанной окружности, K – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Известно, что отрезки  IO || BC.  Докажите, что отрезки  AO || HK.

   Решение

---

Собрались на состязанье йог, бульдог и носорог. Один из них ловчее всех и всегда лжёт, другой — смелее всех и всегда говорит правду, третий — быстрее всех, может говорить и ложь, и правду. Они сделали три заявления.
Йог: Самый быстрый смелее меня.
Бульдог: Я быстрее самого ловкого.
Носорог: Я ловчее самого смелого.
Кто из них самый медленный?

   Решение

---

Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если
  а)  k = 9;   б)  k = 8?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 95]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116563

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60845

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Периодические и непериодические дроби ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть число α задаётся десятичной дробью
  а) 0,101001000100001000001...;
  б) 0,123456789101112131415....
Будет ли это число рациональным?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61014

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Выведите из теоремы 61013 то, что   – иррациональное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60865

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Докажите, что при x≠πn (n– целое) sin x и cos x рациональны тогда и только тогда, когда число tg  рационально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35105

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что степень a^b - число рациональное?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 95]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями