Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите, что при умножении многочлена (x + 1)n–1 на любой многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов.
Решение
24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".
Решение
В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а
две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона
квадрата меньше 2
r, но больше
r, где
r — радиус окружности,
вписанной в треугольник.
Решение
Ювелиру заказали золотое кольцо
шириной h, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с
центром О и поверхностью цилиндра
радиусом r, ось которого проходит через
точку О. Мастер сделал такое колечко, но
выбрал r слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если
r нужно увеличить в
k раз, а
ширину h оставить прежней?
Решение
Фильтр
